Bảy dạng toán điển hình khi ôn thi chuyên cấp 2

Đề thi vào lớp 6 trường chuyên nhìn thì lạ, nhưng đọc kỹ vài năm đề gần nhau sẽ thấy phần lớn câu hỏi xoay quanh một nhóm dạng quen thuộc, chỉ thay số liệu và cách kể chuyện. Học sinh làm tốt thường không phải vì đã gặp đúng bài đó, mà vì các em nhận ra bài mới thuộc dạng nào và nhớ được "cái lõi" của dạng ấy. Dưới đây là bảy dạng xuất hiện dày nhất, kèm công thức cốt lõi, một ví dụ mẫu và những chỗ học sinh hay mất điểm.

1. Tổng – hiệu, tổng – tỉ, hiệu – tỉ

Đây là bộ ba nền tảng, gần như đề nào cũng có ít nhất một câu. Dấu hiệu nhận ra: bài cho hai đại lượng, biết tổng hoặc hiệu của chúng, kèm một quan hệ nữa (hơn kém bao nhiêu, hoặc gấp mấy lần).

Với hai số $a > b$ có tổng $T$ và hiệu $H$:

$$a = \frac{T + H}{2} \qquad b = \frac{T - H}{2}$$

Dạng tổng – tỉ thì đổi sang "số phần bằng nhau": nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{5}$ và $a + b = T$ thì tổng số phần là $2 + 5 = 7$, mỗi phần có giá trị $\dfrac{T}{7}$.

Ví dụ: hai lớp có tất cả 78 học sinh, lớp 5A nhiều hơn lớp 5B 6 em. Khi đó $a = \dfrac{78 + 6}{2} = 42$ và $b = 36$.

Lỗi hay gặp: đọc lướt nên nhầm "nhiều hơn 6 em" (hiệu) với "gấp 6 lần" (tỉ số), hoặc vẽ sơ đồ đoạn thẳng sai vị trí phần hơn.

2. Toán chuyển động

Cái lõi chỉ là $s = v \times t$, nhưng đề chuyên thường ghép hai vật chuyển động cùng lúc. Hãy nhớ hai công thức tính thời gian gặp nhau, trong đó $s$ là khoảng cách ban đầu giữa hai vật:

• Đi ngược chiều để gặp nhau: $t = \dfrac{s}{v_1 + v_2}$.
• Đi cùng chiều để đuổi kịp: $t = \dfrac{s}{v_1 - v_2}$.

Với bài thuyền và dòng nước, gọi $v$ là vận tốc thuyền, $n$ là vận tốc dòng nước thì vận tốc xuôi dòng là $v + n$, ngược dòng là $v - n$, nên $n = \dfrac{(v + n) - (v - n)}{2}$.

Ví dụ: hai xe cách nhau 120 km, đi ngược chiều với vận tốc 40 km/h và 50 km/h. Chúng gặp nhau sau $\dfrac{120}{40 + 50} = \dfrac{4}{3}$ giờ, tức 1 giờ 20 phút.

Lỗi hay gặp: quên đổi đơn vị (giữ 20 phút thay vì $\dfrac{1}{3}$ giờ), và quên rằng khi hai vật xuất phát lệch giờ thì phải trừ quãng đường vật đi trước đã đi được.

3. Tỉ số phần trăm và bài toán tăng – giảm

Dạng này gắn với giá bán, tiền lãi, số học sinh tăng giảm. Mẹo quan trọng nhất là chuyển "tăng $a$%" thành phép nhân với $1 + \dfrac{a}{100}$ thay vì cộng trừ rời rạc, vì các lần thay đổi phải nhân liên tiếp. Gọi $p$ là giá ban đầu, sau hai lần thay đổi $a$ và $b$ thì giá cuối là:

$$p \times \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \left(1 + \frac{b}{100}\right)$$

Ví dụ kinh điển: một món hàng giảm giá 20%, sau đó tăng lại 20%. Nhiều em trả lời "về giá cũ", nhưng thực tế $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$, nghĩa là vẫn rẻ hơn ban đầu 4%.

Lỗi hay gặp: nhầm "số bị so sánh" — 25% của 80 khác với "80 là 25% của số nào". Hãy luôn viết rõ đang lấy phần trăm của đại lượng nào.

4. Làm chung công việc

Dấu hiệu: hai người (hai vòi nước, hai máy) cùng làm một việc, mỗi bên xong trong bao lâu. Quy ước coi cả công việc là 1, khi đó ai xong trong $x$ giờ thì mỗi giờ làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc.

Ví dụ: người thứ nhất làm xong trong 6 giờ, người thứ hai trong 4 giờ. Mỗi giờ cả hai làm được:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$$

Vậy hai người cùng làm sẽ xong sau $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ giờ, tức 2 giờ 24 phút.

Lỗi hay gặp: lấy trung bình cộng thời gian của hai người (ra 5 giờ) — một đáp án sai rất phổ biến, và cũng là lý do dạng này hay được ra đề để phân loại. Muốn chắc phần này, con cần thật vững phép cộng trừ phân số khác mẫu.

5. Dãy số và tính nhanh

Đề chuyên rất thích những biểu thức dài mà nếu tính lần lượt thì hết giờ, nhưng nhìn ra quy luật thì chỉ mất một dòng. Ba công thức nên thuộc:

• Số số hạng của dãy cách đều: (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1.
• Tổng dãy số tự nhiên liên tiếp: $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.
• Tách phân số để khử liên tiếp: $\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}$.

Ví dụ: tính $\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{9 \cdot 10}$. Tách từng số hạng theo công thức trên, các phần giữa triệt tiêu hết và chỉ còn $1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$.

Lỗi hay gặp: cộng thiếu số 1 khi đếm số số hạng, và triệt tiêu vội mà quên giữ lại số hạng đầu với số hạng cuối.

6. Hình học phẳng và tỉ số diện tích

Ở cấp tiểu học, hình học nâng cao gần như luôn quy về diện tích. Hai công thức làm nền:

• Tam giác có đáy $a$, chiều cao $h$: $S = \dfrac{a \times h}{2}$.
• Hình thang có hai đáy $a$, $b$ và chiều cao $h$: $S = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$.

Chìa khóa của các bài khó là tỉ số: hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy, tức $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$.

Ví dụ: cho tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Hai tam giác $ABM$ và $ACM$ chung chiều cao hạ từ $A$, lại có đáy bằng nhau, nên $S_{ABM} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$.

Lỗi hay gặp: ghép nhầm đáy với chiều cao không tương ứng. Trước khi làm dạng này, nên ôn lại chu vi, diện tích và thể tích cho chắc phần công thức cơ bản.

7. Suy luận, chia hết và nguyên lý Dirichlet

Nhóm câu cuối đề thường không cần tính nhiều mà cần lập luận. Vài công cụ hay dùng:

1. Dấu hiệu chia hết: chia hết cho 3 hoặc 9 khi tổng các chữ số chia hết cho 3 hoặc 9; số có ba chữ số viết được thành $\overline{abc} = 100a + 10b + c$.
2. Chu kỳ chữ số tận cùng: $7^1$ tận cùng 7, $7^2$ tận cùng 9, $7^3$ tận cùng 3, $7^4$ tận cùng 1 rồi lặp lại. Vì $2026 = 4 \times 506 + 2$ nên $7^{2026}$ có chữ số tận cùng là 9.
3. Nguyên lý Dirichlet ("nhốt thỏ vào chuồng"): xếp 13 bạn vào 12 tháng sinh thì chắc chắn có ít nhất hai bạn sinh cùng tháng.

Lỗi hay gặp: kết luận đúng nhưng trình bày thiếu lý do, mất điểm lập luận. Với dạng này, con nên viết rõ "vì… nên…" thay vì chỉ ghi đáp số.

Ôn theo dạng thế nào cho hiệu quả

Học theo dạng chỉ phát huy tác dụng khi con làm đủ ba bước: nhận ra dạng, nhớ công thức lõi, rồi tự kiểm tra lại kết quả bằng ước lượng nhanh. Cách luyện tốt nhất không phải là làm thật nhiều bài mới, mà là làm lại những bài từng sai cho tới khi con giải thích được vì sao mình sai.

Cũng đừng dồn cả bảy dạng vào vài tuần cuối. Một lộ trình trải đều theo tuần, mỗi tuần một dạng và một buổi tổng ôn, sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều — cách chia giai đoạn cụ thể có trong bài lộ trình ôn thi vào lớp 6 trường chuyên, còn phần dành cho cha mẹ nằm ở cẩm nang đồng hành cùng con.

Trên SchoolOnline, con có thể luyện từng dạng theo khối lớp và xem lại đúng những câu đã sai, để mỗi buổi ôn đều nhắm vào chỗ còn yếu thay vì làm lại phần đã chắc.